Ergänzungen zu Lagebeziehungen im $\mathbb{R}^3$

Ergänzungen zu Lagebeziehungen

Hier geht es um Winkel, Abstände und Lot-/Projektionsrechnungen in $\mathbb{R}^3$. Ziel ist, nicht nur die Lage zu entscheiden, sondern auch quantitativ zu rechnen.

Notation

$g:\;\vec{x}=\vec{a}+t\,\vec{u}\qquad (t\in\mathbb{R})$

Ebene in drei Formen:

$E:\;\vec{x}=\vec{p}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v}\qquad (\text{Parameterform})$

$E:\;(\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\qquad (\text{Normalenform})$

$E:\;ax+by+cz=d\qquad (\text{Koordinatenform})$

Winkel

Winkel zwischen zwei Geraden

Nutze die Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$.

$\cos(\varphi)=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\quad\Rightarrow\quad \varphi\in[0^\circ,90^\circ]$

Beispiel: $\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 0=1$

$\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1\qquad \|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

$\cos(\varphi)=\dfrac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \varphi=45^\circ$

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Winkel $\alpha$ zwischen Gerade $g$ (Richtung $\vec{u}$) und Ebene $E$ (Normalenvektor $\vec{n}$) ist der Komplementwinkel zum Winkel zwischen $\vec{u}$ und $\vec{n}$.

$\sin(\alpha)=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{n}\|}\quad\Rightarrow\quad \alpha\in[0^\circ,90^\circ]$

Winkel zwischen zwei Ebenen

Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwischen ihren Normalen $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$.

$\cos(\varphi)=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\|\,\|\vec{n}_2\|}$

Projektionen / Lot

Was bedeutet das? Bei einer Projektion „wirfst“ du einen Vektor oder einen Punkt senkrecht auf eine Gerade oder Ebene. Das Ergebnis ist die Komponente in Richtung der Geraden (oder innerhalb der Ebene). Ein Lot ist genau diese senkrechte Verbindung: Vom Punkt geht eine Strecke im rechten Winkel zur Gerade/Ebene; ihr Endpunkt heißt Lotfußpunkt. Das ist besonders nützlich, weil viele Aufgaben (Abstand, nächster Punkt, orthogonale Zerlegung) darauf zurückfallen.

Beispielzeichnung: Lotfußpunkt & Projektion

Lotfußpunkt eines Punktes auf eine Gerade

Für $g:\vec{x}=\vec{a}+t\,\vec{u}$ und Punkt $P$ mit $\vec{p}$:

$t_0=\dfrac{(\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{f}=\vec{a}+t_0\,\vec{u}$

Zusammenhang / warum genau diese Formel? Setze $\vec{w}=\vec{p}-\vec{a}$. Dann liegt jeder Punkt auf der Geraden bei $\vec{a}+t\vec{u}$. Der Lotfußpunkt $F$ soll so liegen, dass der Verbindungsvektor $\vec{p}-\vec{f}$ senkrecht zur Geraden ist, also $(\vec{p}-\vec{f})\cdot\vec{u}=0$.

Schreibe $\vec{f}=\vec{a}+t_0\vec{u}$. Dann ist $(\vec{p}-\vec{f})\cdot\vec{u}=(\vec{p}-\vec{a}-t_0\vec{u})\cdot\vec{u}=(\vec{w}-t_0\vec{u})\cdot\vec{u}=0$. Daraus folgt $t_0\,(\vec{u}\cdot\vec{u})=\vec{w}\cdot\vec{u}$ und somit $t_0=\dfrac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}$. Genau das ist die Projektion von $\vec{w}$ auf die Richtung $\vec{u}$ (siehe unten).

Lotfußpunkt eines Punktes auf eine Ebene

Für $E:(\vec{x}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=0$ und Punkt $P$ mit $\vec{p}$:

$\vec{h}=\vec{p}-\dfrac{(\vec{p}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}$

Zusammenhang: Beim Lot auf eine Ebene gehst du vom Punkt $P$ nur in Normalenrichtung zur Ebene, also entlang $\vec{n}$. Deshalb hat der Lotfußpunkt die Form $\vec{h}=\vec{p}-\lambda\,\vec{n}$ (mit unbekanntem $\lambda$).

Jetzt kommt die Ebenenbedingung: $\vec{h}$ muss auf $E$ liegen, also $(\vec{h}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=0$. Einsetzen liefert $(\vec{p}-\lambda\vec{n}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=0$ $\Rightarrow (\vec{p}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}-\lambda(\vec{n}\cdot\vec{n})=0$ $\Rightarrow \lambda=\dfrac{(\vec{p}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}$. Damit entsteht genau die Formel oben.

Orthogonale Projektion (Vektor)

Projektion von $\vec{w}$ auf Richtung $\vec{u}$:

Worum geht’s hier? Du willst aus dem Vektor $\vec{w}$ genau den Anteil herausfiltern, der in Richtung von $\vec{u}$ zeigt. Dieser Anteil heißt $\vec{w}_\parallel$. Der Rest $\vec{w}_\perp=\vec{w}-\vec{w}_\parallel$ steht dann senkrecht auf $\vec{u}$. Genau diese Zerlegung nutzt man z.B. beim Lotfußpunkt auf eine Gerade und bei Abständen (der Abstand ist die Länge des senkrechten Anteils).

$\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{w})=\dfrac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}$

Zusammenhang: Man zerlegt $\vec{w}$ in $$\vec{w}=\vec{w}_\parallel+\vec{w}_\perp,$$ wobei $\vec{w}_\parallel$ in Richtung $\vec{u}$ zeigt (also $\vec{w}_\parallel=k\vec{u}$) und $\vec{w}_\perp\perp\vec{u}$ gilt. Die Bedingung $\vec{w}_\perp\cdot\vec{u}=0$ führt zu $(\vec{w}-k\vec{u})\cdot\vec{u}=0$ und damit $k=\dfrac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}$. Genau deswegen taucht derselbe Bruch auch beim Lotfußpunkt auf der Geraden als Parameter $t_0$ auf.

Abstände

Damit das übersichtlich bleibt, sind die Abstandstypen hier in einzelne Abschnitte aufgeteilt.

Abstand Punkt – Punkt

Idee: Der Abstand ist die Länge des Verbindungsvektors.

$d(P,Q)=\|\overrightarrow{PQ}\|=\|\vec{p}-\vec{q}\|$

Beispiel: $P(1\mid 2\mid 3)$ und $Q(4\mid -2\mid 5)$

$\overrightarrow{PQ}=\vec{q}-\vec{p}=\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}$

$d(P,Q)=\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{29}$

Abstand Punkt – Gerade

Für $g:\;\vec{x}=\vec{a}+t\,\vec{u}$ und Punkt $P$ mit Ortsvektor $\vec{p}$:

Was ist die Idee? Du kennst einen Punkt $A$ auf der Geraden (Ortsvektor $\vec{a}$) und willst den kürzesten Abstand vom Punkt $P$ zur Geraden. Der kürzeste Abstand ist immer die Länge der senkrechten Verbindung von $P$ zur Geraden.

Dafür nutzt man das Parallelogramm, das von den beiden Vektoren $\vec{u}$ (Richtung der Geraden) und $\vec{w}=\vec{p}-\vec{a}$ (vom Geradenpunkt zum Punkt) aufgespannt wird.

Schrittfolge (mit Begründung):

• 1) Verbindungsvektor: Bilde $\vec{w}=\vec{p}-\vec{a}$. Das ist der „schräge“ Vektor von der Geraden zum Punkt.
• 2) Warum Parallelogramm? $\vec{u}$ ist die „Basisrichtung“ (entlang der Geraden). Zusammen mit $\vec{w}$ entsteht ein Parallelogramm.
• 3) Warum Kreuzprodukt? Der Betrag $\|\vec{w}\times\vec{u}\|$ ist der Flächeninhalt dieses Parallelogramms. (Geometrisch: $\|\vec{w}\times\vec{u}\|=\|\vec{w}\|\,\|\vec{u}\|\,\sin(\theta)$.)
• 4) Warum ist die Höhe der Abstand? Fläche ist auch „Grundseite × Höhe“. Wähle als Grundseite die Länge $\|\vec{u}\|$. Dann ist die dazu senkrechte Höhe genau die senkrechte Entfernung von $P$ zur Geraden.

$A=\|\vec{w}\times\vec{u}\|\qquad\text{und}\qquad A=\|\vec{u}\|\cdot d\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{\|\vec{w}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

$d(P,g)=\dfrac{\|(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

Beispiel: $g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $P(3\mid 2\mid 1)$

$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},\;\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix},\;\vec{p}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\vec{w}=\vec{p}-\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\vec{w}\times\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$

$\|\vec{w}\times\vec{u}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}=3\qquad\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$

$d(P,g)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Schaubild (Punkt – Gerade)

Abstand Punkt – Ebene

Für Koordinatenform $E:\;ax+by+cz=d$ (also $\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$):

$d(P,E)=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{p}-d|}{\|\vec{n}\|}$

Beispiel (Koordinatenform): $E: 2x-y+2z=5$ und $P(1\mid 2\mid 0)$

$\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\;d=5,\;\vec{p}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

$\vec{n}\cdot\vec{p}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+2\cdot 0=0$

$\|\vec{n}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$d(P,E)=\dfrac{|0-5|}{3}=\dfrac{5}{3}$

Alternativ bei Normalenform $E:(\vec{x}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=0$:

$d(P,E)=\dfrac{|(\vec{p}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$

Beispiel (Normalenform, gleiche Ebene):

$E:(\vec{x}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=0,\;\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\;\vec{p}_0=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{p}-\vec{p}_0=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$

$(\vec{p}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=-5$

$d(P,E)=\dfrac{|{-5}|}{3}=\dfrac{5}{3}$

Falls die Ebene in Parameterform gegeben ist: Erst $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ berechnen und dann eine der beiden Formeln oben verwenden.

Abstand Gerade – Gerade

Geraden $g:\vec{x}=\vec{a}+s\,\vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{b}+t\,\vec{v}$:

Parallel: ($\vec{u}\parallel\vec{v}$)

Schrittfolge: Parallelität prüfen ($\vec{u}=\lambda\vec{v}$ oder $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$), dann Abstand wie Punkt–Gerade.

$d(g,h)=\dfrac{\|(\vec{b}-\vec{a})\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

Beispiel (parallel):

$g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\qquad h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}$

$\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=2\vec{u}\;\Rightarrow\;\text{parallel}$

$\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

$(\vec{b}-\vec{a})\times\vec{u}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\|(\vec{b}-\vec{a})\times\vec{u}\|=1\qquad\|\vec{u}\|=\sqrt{5}\qquad\Rightarrow\qquad d(g,h)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Windschief: ($\vec{u}\not\parallel\vec{v}$ und kein Schnittpunkt)

Schrittfolge:

• 1) Prüfe $\vec{u}\not\parallel\vec{v}$ (z.B. $\vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}$).
• 2) $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ ist senkrecht zu beiden Geradenrichtungen.
• 3) Projektion von $\vec{b}-\vec{a}$ auf $\vec{n}$ liefert den Abstand.

$d(g,h)=\dfrac{|(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}$

Beispiel (windschief):

$g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\qquad h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\qquad\Rightarrow\qquad \|\vec{u}\times\vec{v}\|=1$

$\vec{b}-\vec{a}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

$(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=1\qquad\Rightarrow\qquad d(g,h)=1$

Abstand Gerade – Ebene

Wenn die Gerade die Ebene schneidet, ist der Abstand $0$. Wenn $g$ parallel zu $E$ ist (Kriterium $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$), dann ist der Abstand konstant:

Schrittfolge:

• 1) Bestimme einen Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene (je nach Ebenenform).
• 2) Prüfe $\vec{u}\cdot\vec{n}$: $\neq 0$ Schnitt Abstand $0$; $=0$ parallel.
• 3) Bei Parallelität: nutze einen Punkt $\vec{a}$ auf der Geraden und rechne Abstand Punkt–Ebene.

$d(g,E)=\dfrac{|(\vec{a}-\vec{p}_0)\cdot\vec{n}|}{\|\vec{n}\|}\quad\text{(für }\vec{u}\cdot\vec{n}=0\text{)}$

Beispiel (schneidend → Abstand 0):

$E: x+y+z=1\Rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\qquad g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{u}\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=2\neq 0\Rightarrow \text{Schnitt} \Rightarrow d(g,E)=0$

Beispiel (parallel → konstanter Abstand):

$E: x+y+z=1\Rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\;d=1\qquad g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{u}\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=0\Rightarrow \text{parallel}$

$\text{Abstand} = d(\vec{a},E)\;\text{mit }\vec{a}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}:\quad d=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{a}-1|}{\|\vec{n}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Abstand Ebene – Ebene

Schneiden sich Ebenen, ist der Abstand $0$. Nur bei parallelen Ebenen (Normalen kollinear) ist der Abstand konstant.

Schrittfolge (parallel):

• 1) Prüfe Parallelität: $\vec{n}_1\parallel\vec{n}_2$.
• 2) Bringe beide Ebenen auf die gleiche Normalenrichtung (ggf. eine Gleichung skalieren).
• 3) Verwende $d(E_1,E_2)=\dfrac{|d_1-d_2|}{\|\vec{n}\|}$.

$E_1:\;\vec{n}\cdot\vec{x}=d_1,\;E_2:\;\vec{n}\cdot\vec{x}=d_2\quad\Rightarrow\quad d(E_1,E_2)=\dfrac{|d_1-d_2|}{\|\vec{n}\|}$

Beispiel (parallel):

$E_1: 2x-y+2z=5\qquad E_2: 4x-2y+4z=1$

$\vec{n}_1=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\;\vec{n}_2=\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}=2\vec{n}_1\Rightarrow\text{parallel}$

$\text{Bringe }E_2\text{ auf dieselbe Normalenform: }\;\frac{1}{2}E_2: 2x-y+2z=\frac{1}{2}$

$d(E_1,E_2)=\dfrac{|5-\tfrac{1}{2}|}{\|\vec{n}_1\|}=\dfrac{\tfrac{9}{2}}{3}=\dfrac{3}{2}$

Orthogonalität (kurz)

Details zur Idee "Skalarprodukt = 0" stehen schon in Grundlagen. Hier nur die schnellen Kriterien:

• Gerade ⟂ Gerade: $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
• Ebene ⟂ Ebene: $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0$
• Gerade ⟂ Ebene: $\vec{u}\parallel\vec{n}$ (also z.B. $\vec{u}=\lambda\vec{n}$)